Historia i autorzy

Podziel się:

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną $n \,$ liczb $a_1, a_2, ..., a_n \,$ nazywamy liczbę: $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}.$ Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy n liczb i n (gdzie n to ilość sumowanych liczb).

Spis treści

1 Przykłady zastosowania
2 Właściwości statystyczne średniej z próby
3 Przypisy
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Przykłady zastosowania

Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej. Można ją również określić jako średnią potęgową rzędu 1.

Na przykład średnią liczb -5,-3, 0 i 12 jest

$\frac{-5+(-3)+0+12}{4}=1.$

Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładem może być średnia ocen z matematyki ucznia szkoły podstawowej, który otrzymał następujące noty: 2, 4, 4, 5, 6

$\frac{2+4+4+5+6}{5}=4{,}2$

W podobny sposób można mówić o średniej płacy w danej firmie, średniej cenie pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średnim wzroście poborowych w danym roczniku.

Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą położenia rozkładu i jednocześnie miarą tendencji centralnej. Jest to miara klasyczna rozkładu, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.

[edytuj] Właściwości statystyczne średniej z próby

[edytuj] Odchylenie standardowe średniej

Jeśli uśredniamy $n \,$ nieskorelowanych^[1] zmiennych o odchyleniach standardowych $\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n$ , to odchylenie ich średniej arytmetycznej jest równe średniej kwadratowej odchyleń tych zmiennych:

$\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\dots+\sigma_n^2}{n}}$

Jeśli zmienne są skorelowane, wówczas odchylenie średniej będzie inne, np. dla dwóch zmiennych $X_1, X_2 \,$ :

$\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2+2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}{2}}$

gdzie $\rho_{12} \,$ to współczynnik korelacji między nimi.

W ogólnym przypadku dla $n \,$ skorelowanych zmiennych:

$\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j}{n}}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{n}}$

gdzie $\operatorname{cov}(X_i,X_j)$ to kowariancja i-tej i j-tej zmiennej.

[edytuj] Prawo wielkich liczb

Osobny artykuł: prawo wielkich liczb.

Niech $X \,$ będzie zmienną losową o skończonej wariancji i wartości oczekiwanej $\mu \,$ oraz niech $x_1\dots x_n$ będzie prostą próbą losową z tej zmiennej. Wtedy dla dowolnie małej dodatniej liczby $\varepsilon$ :

$\lim_{n\to\infty} \operatorname{P}\left\{ \mu-\varepsilon\leqslant\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\leqslant\mu+\varepsilon\right\} =1$

Innymi słowy średnia próbkowa dąży do wartości oczekiwanej w populacji wraz ze wzrostem liczności próby. Prawo wielkich liczb można wzmocnić na dwa sposoby, przedstawione dalej.

[edytuj] Centralne twierdzenie graniczne

Osobny artykuł: centralne twierdzenie graniczne.

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład średniej z $n$ -elementowej próby wraz ze wzrostem $n$ coraz lepiej odpowiada rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej $\mu \,$ i odchyleniu $\sigma/\sqrt{n}$ , gdzie $\mu \,$ oraz $\sigma\,$ to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe w populacji, z której losowana jest próba. Ściślej dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b \,$ takich, że $a<b \,$ :

$\operatorname{P}\left\{a\leqslant\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leqslant b\right\}\to \operatorname{P}\{a\leqslant Z\leqslant b\}=\Phi(b)-\Phi(a)$

gdzie:

$Z \,$ to zmienna o standardowym rozkładzie normalnym (o wartości oczekiwanej zero i wariancji równej jeden),
$\Phi(x) \,$ to dystrybuanta rozkładu normalnego $N(0,1) .\,$

Twierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od rozkładu w populacji. Właściwość ta jest wykorzystywana w wielu metodach statystycznych i estymatorach. Centralne twierdzenie graniczne jest uogólnieniem prawa wielkich liczb, gdyż opisuje zachowanie całego rozkładu średniej, podczas gdy prawo wielkich liczb opisywało jeden jego parametr (wartość oczekiwaną).

[edytuj] Właściwości średniej jako estymatora

Średnia arytmetyczna z próby jest, niezależnie od rozkładu, estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej rozkładu, z którego próba była losowana. Jeśli jest to rozkład normalny, to średnia jest również estymatorem efektywnym.

[edytuj] Ograniczenia

Średnia arytmetyczna jest podatna na obserwacje odstające (czyli w tym przypadku wartości zmiennej, losowane spoza rozkładu, którego wartość oczekiwaną chcemy estymować, np. pomyłki w danych). W przypadku gdy jest ich dostatecznie dużo, inne średnie, takie jak mediana czy średnia ucinana, mogą dawać lepsze wyniki.

Przypisy

↑ nie muszą być niezależne, wystarcza zerowa wartość współczynnika korelacji Pearsona

[edytuj] Bibliografia

Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001. ISBN 83-204-2684-7.
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.

[edytuj] Zobacz też

e Średnie

Średnie	Średnia arytmetyczna • Średnia geometryczna • Średnia harmoniczna • Średnia kwadratowa • Średnia potęgowa • Średnia logarytmiczna • Średnia wykładnicza • Średnia arytmetyczno-geometryczna • Minimum i Maksimum • Mediana • Dominanta (moda) • Średnia Chisinego • Średnia ucinana • Średnia ważona • Średnia winsorowska • Średnia Stolarskiego

Zastosowanie średnich	Środek masy • Środek ciężkości