Widget
Podziel się:

Ekstrapolacja (matematyka)


Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Ekstrapolacja – prognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego mamy dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie.

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wyliczamy jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

[edytuj] Ekstrapolacja iterowana Richardsona

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem h. Wynikiem jej działania jest F(h). Wartością dokładną jest F(0). Trudności obliczeniowe rosną gdy h maleje.

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia (p_1<p_2<p_3<... )

F(h)=a_0+a_1 h^{p_1}+a_2 h^{p_2}+a_3 h^{p_3}...

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości

F(h_0), F(q^{-1} h_0), F(q^{-2} h_0), F(q^{-3} h_0) ... q>1

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji , którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:

F_n(h)=a_0+a_{n,n} h^{p_n}+a_{n,n+1} h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2} h^{p_{n+2}}...

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa h_0 i liczba q>1, stosuje się wzór rekurencyjny:

A_{m,0}=F(q^{-m}h_0)
m=0,1,2...
A_{m,k}=A_{m,k-1}+\frac{A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_k}-1}
k=1,2,3...
F_n(h_0)=A_{n-1,n-1}
n=2,3,4...

[edytuj] Zastosowanie do różniczkowania numerycznego

f(x_0+h)=f(x_0)+h f'(x_0)+\frac{h^2}{2!}f''(x_0)+\frac{h^3}{3!}f^{(3)}(x_0)+...

Różnica progresywna

D_p(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)+\frac{h}{2!}f''(x_0)+\frac{h^2}{3!}f^{(3)}(x_0)+...
p_1=1,p_2=2, p_3=3, ...

[edytuj] Zobacz też

Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.

Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.

Zasady ochrony prywatności O Wikipedii Informacje prawne