Elektrodynamika kwantowa

Elektrodynamika kwantowa (ang. QED – Quantum ElectroDynamics) jest to kwantowa teoria pola opisująca oddziaływanie elektromagnetyczne. Jest ona kwantowym uogólnieniem elektrodynamiki klasycznej. Elektrodynamika kwantowa wyjaśnia takie zjawiska jak rozszczepianie poziomów energetycznych atomu w polach elektrycznych i magnetycznych oraz zwiększanie się wówczas liczby linii widmowych.

Spis treści

1 Opis matematyczny
2 Diagramy Feynmana
3 Przykłady diagramów Feynmana w elektrodynamice kwantowej
4 Sukcesy
5 Przypisy

[edytuj] Opis matematyczny

Elektrodynamika opisuje zachowanie cząstek naładowanych elektrycznie tłumacząc ich oddziaływania wymianą kwantów pola elektromagnetycznego czyli fotonów. Podstawowymi elementami teorii są pole elektromagnetyczne reprezentowane przez antysymetryczny tensor pola elektromagnetycznego F oraz pola materii reprezentowane przez funkcje falowe.

Funkcjonał działania teorii ma postać:

$S=\int d^4x L$

gdzie funkcja Lagrange'a opisuje pole elektromagnetyczne i pole elektronów

$L= L_{A}+L_{\psi}$

$L_{A}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$

$F_{\mu \nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.$

$L_{\psi}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-(\frac{mc}{\hbar}))\psi .$

D jest pochodną kowariantną

$D_{\mu}=\partial_{\mu}-ieA_{\mu}$

A_μ={A₀=φ/c,-A } jest polem cechowania elektrodynamiki zbudowanym z potencjału skalarnego i φ i wektorowego tak jak w elektrodynamice klasycznej.

[edytuj] Diagramy Feynmana

Rozwinięcie powyższego funkcjonału w formalny szereg (matematyka) względem potęg stałej sprzężenia e prowadzi do wyrażeń całkowych opisujących prawdopodobieństwo przejść pomiędzy rozmaitymi stanami kwantowymi pola. Poszczególne wyrażenia w tym szeregu mają postać całek wielokrotnych i mogą zostać zaprezentowane graficznie za pomocą symboliki diagramów Feynmana.

Poniżej opisano podstawowe procesy opisywane diagramami Feynmana o ile przyjmiemy przedstawienie teorii w reprezentacji przestrzeni położeń i czasu (a nie np. przestrzeni pędów). Należy przy tym być świadomym, że poniższe rysunki nie reprezentują żadnego z rzeczywistych procesów fizycznych i nie przedstawiają same w sobie żadnej treści fizycznej, mimo że używa się podczas ich opisu zwrotów typu zderzenie czy rozpraszanie. Każde z poniżej wypisanych wyrażeń ma następujący sens: pojedynczy diagram jest wkładem od pewnego formalnego wyrażenia matematycznego reprezentującego element operatorowy macierzy rozpraszania. Obiekt ten działając na funkcje falowe z odpowiedniej przestrzeni Hilberta stanów pola elektromagnetycznego, pozwala na zmianę tej funkcji podobnie jak inne operatory w mechanice kwantowej.

W szczególności obliczając kwadrat modułu takiego stanu otrzymujemy informacje o liczbowej wartości prawdopodobieństwa opisującym pewien proces fizyczny – prawdopodobieństwo zmiany pewnego stanu fizycznego do innego. Każdy z elementów tej macierzy jest sumą nieskończenie wielu diagramów Feynmana, z tym, ze wykonując obliczenia ze skończoną dokładnością zwykle szereg ów urywamy np. na trzeciej potędze stałej sprzężenia pól elektromagnetycznych.

Warto pamiętać, że sens fizyczny ma dopiero szereg złożony z nieskończenie wielu diagramów Feynmana, co więcej dopiero po wykonaniu procedury renormalizacji, gdyż bez niej nawet poszczególne wyrażenia tego szeregu są niepoprawnie określone w sensie matematycznym (są rozbieżne). Występują procesy, w których elektron, pozyton i foton powstają z niczego, a następnie spotykają się ze sobą. Ich uwzględnienie zmienia nieskończoność typu $1 + 2 + 3 + ...$ na "mniejszą" typu $1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ...$ i umożliwia renormalizację^[1].

[edytuj] Przykłady diagramów Feynmana w elektrodynamice kwantowej

Podstawowym procesem elektrodynamiki kwantowej jest "zderzenie" w czasoprzestrzeni dwóch elektronów (ogólnie: dwóch identycznych cząstek obdarzonych ładunkiem) i fotonu: .

Obracając ten proces pod różnymi "kątami" lub łącząc go w kaskady uzyskuje się wszystkie zjawiska opisywane przez tę teorię. W poniższych obrazkach linie czarne to elektrony, linie z niebieską poświatą to fotony. Elektrony ze strzałką w górę to zwykłe elektrony, a ze strzałką w dół – pozytony (antyelektrony). Czas płynie z dołu do góry.

Odpychanie elektronów:

Anihilacja elektronu i pozytonu:

Tzw. polaryzacja próżni:

Każdy z takich diagramów daje informację o prawdopodobieństwach przemian cząstek. Aby obliczyć prawdopodobieństwo przejścia od jednego stanu kwantowego do drugiego, należy dodać do siebie wkłady od wszystkich diagramów rozpoczynających się jednym stanem a kończących drugim.

Elektrodynamika jest abelową (przemienną) teorią pola z cechowaniem, a jej grupą cechowania jest grupa U(1). Jest to najprostsza i historycznie pierwsza kompletna z istniejących teorii fizycznych oddziaływań fundamentalnych.

[edytuj] Sukcesy

Teoria Diraca przewiduje, że moment magnetyczny elektronu związany ze spinem jest dwa razy większy niż klasyczny, a elektrodynamika kwantowa zwiększa tę wartość o czynnik 1,00115965214±3. Pomiary wskazują, natomiast, że czynnik ten wynosi 1,001159652188±4, więc QED daje najbliższy prawdzie wynik^[2].

Przypisy

↑ Steven Weinberg, Sen o teorii ostatecznej, wydanie II, ISBN 83-7150-116-1, str. 95
↑ Steven Weinberg, Sen o teorii ostatecznej, wydanie II, ISBN 83-7150-116-1, str. 97