Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych[1], wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero[2]. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].
Spis treści |
Znając rozkład przestrzenny energii potencjalnej pewnego ciała umieszczonego w polu sił można wyznaczyć siłę działającą na to ciało obliczając gradient
Jeżeli w pewnym punkcie przestrzeni energia osiąga lokalne ekstremum, wówczas, jak widać z powyższego wzoru, znikają siły działające na ciało. Punkt ten określa położenie równowagi. Jeśli jest to minimum – równowaga jest trwała, jeżeli maksimum – nietrwała.
Gdy znane są natomiast siły działające na ciało w każdym punkcie przestrzeni, można znaleźć różnicę energii potencjalnych ciała w punktach A i B obliczając całkę z siły
Jeżeli w położeniu rA ustali się arbitralnie Ep = 0, wówczas wartość tej całki określa energię potencjalną w położeniu rB.
Źródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. W zależności od warunków zagadnienia rozpatruje się pole grawitacyjne jako pole jednorodne lub jako pole centralne.
Dla niezbyt dużych wysokości i niezbyt dużych odległości (znacznie mniejszych od promienia Ziemi) można przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi, w rozpatrywanym obszarze, jest jednorodnym polem o kierunku pionowym i zwrocie w dół. Wówczas za poziom odniesienia można przyjąć dowolny punkt. Wszystkie punkty na tej samej wysokości mają energię równą zero, powierzchnię tę nazywa się powierzchnią Ziemi. Przyrost energii potencjalnej grawitacji ciała jest równy pracy siły zewnętrznej, wykonanej przy jego podnoszeniu na wysokość h.
Energia potencjalna grawitacji ciała o masie m umieszczonego na wysokość h nad poziom odniesienia (poziom ziemi) jest równa pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z poziomu odniesienia na wysokość h
gdzie siła F jest równa co do wartości ciężarowi ciała, czyli iloczynowi masy m i przyspieszenia ziemskiego.
W zagadnieniach, w których trzeba rozpatrywać zmiany energii grawitacyjnej w skali porównywalnej do odległości od źródeł grawitacji (np. w lotach kosmicznych, oddziaływaniach międzyplanetarnych), trzeba uwzględnić niejednorodność pola grawitacyjnego. Za poziom odniesienia najwygodniej jest wówczas przyjąć nieskończoność, gdzie siła oddziaływania wynosi 0. Wyrażenie na pracę potrzebną do przeniesienia obiektu z pewnego punktu odległego o r od środka masy M do nieskończoności można wyznaczyć obliczając całkę
gdzie:
Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym, dlatego pracę przeniesienia ciała z punktu A do punktu B można wyrazić poprzez energię potencjalną w punkcie A i B
Porównując ten wzór ze wzorem (1) można zauważyć, że energia potencjalna w punkcie odległym o r od centrum masy M może być wyrażona wzorem
Wzór ten jest prawdziwy dla sytuacji, gdy źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Pozostaje prawdziwy również dla kuli o symetrycznym rozkładzie masy, ale tylko na zewnątrz tej kuli.
W środku jednorodnej kuli o masie M i promieniu R energia potencjalna osiąga wartość
Przyjmując za poziom odniesienia powierzchnię kuli (Ep = 0) energia potencjalna w środku przyjmuje wartość
Energia potencjalna sprężystości jest energią określaną dla ciała odkształcanego sprężyście. Energia ta jest proporcjonalna do kwadratu odkształcenia od położenia równowagi. W przypadku odkształconej sprężyny energię tę opisuje wzór
gdzie:
Wzór na energię potencjalną odkształconej sprężyny można wyprowadzić wykorzystując wzór na siłę sprężystości
gdzie Fs – siła sprężystości [N].
Praca potrzebna do rozciągnięcia sprężyny o x jest to praca przeciwko sile sprężystości (o przeciwnym znaku). Można ją zatem zapisać:
Ponieważ praca ta jest różnicą energii końcowej i początkowej, a w położeniu równowagi energia potencjalna jest równa 0. Stąd wynika wzór na energię potencjalną.
