Kinematyczne równanie ruchu

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny

Działy
Statyka · Dynamika · Kinematyka · Mechanika stosowana · Mechanika nieba · Mechanika ośrodków ciągłych · Mechanika statystyczna

Sformułowania
Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange'a · Formalizm Hamiltona

Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d'Alemberta

Podstawowe zagadnienia

Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa

Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d'Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

pokaż • dyskusja • edytuj

Kinematyczne równanie ruchu to pewna zależność (bądź układ zależności), określająca położenie ciała w przestrzeni w funkcji czasu.

Postać wektorowa kinematycznego równania ruchu to zależność określająca wektor położenia ciała jako funkcję czasu:

$\vec{r}=\vec{r}(t)$

W praktyce korzysta się jednak zwykle ze skalarnej postaci kinematycznego równania ruchu. Jest ona (w trójwymiarowej przestrzeni) określona następującym układem:

$\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}$

Obie postaci kinematycznego równania ruchu łączy następujący związek:

$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$

$\vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k}$ są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami układu współrzędnych. Nazywa się je wersorami

[edytuj] Związek z dynamiką

Kinematyczne równanie ruchu jest rozwiązaniem dynamicznego równania ruchu, które ma postać równania różniczkowego. W dowolnym przypadku, szczególnie złożonych sił działających na ciało, rozwiązania analityczne tych równań mogą nie istnieć. Dla takich ruchów równanie kinematyczne nie istnieje.

[edytuj] Tor ruchu

W przypadku ruchów krzywoliniowych kinematyczne równania ruchu mają postać układu równań z parametrem (zobacz przykłady). Parametrem tym jest czas. Eliminując z tych równań czas można otrzymać jedno równanie współrzędnych przestrzennych, które jest równaniem toru ruchu tego ciała.

[edytuj] Zastosowanie

Kinematyczne równanie ruchu ciała jest bardzo wygodną metodą opisu ruchu. Pozwala ono na proste obliczenie:

równania toru ciała(przez wyeliminowanie z równań parametru czasu t)
prędkości chwilowej ciała (jest ona pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu)
przyspieszenia chwilowego ciała (jest ono drugą pochodną wektora położenia względem czasu)

[edytuj] Przykłady prostych równań ruchu

Ruch jednostajny prostoliniowy ( $x_0$ – położenie początkowe, $v$ – prędkość)

$x(t)=x_0+v t \,$

Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony ( $x_0$ – położenie początkowe, $v_0$ ‒ prędkość początkowa, $a$ – przyspieszenie)

$x(t)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2\,$

Rzut ukośny w górę przy osi OY skierowanej pionowo w górę (( $x_0$ , $y_0$ ) – położenie początkowe, $v_0$ ‒ prędkość początkowa, $\alpha$ – kąt wyrzucenia)