Historia i autorzy

Podziel się:

Klasyczny oscylator harmoniczny

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny

Działy
Statyka · Dynamika · Kinematyka · Mechanika stosowana · Mechanika nieba · Mechanika ośrodków ciągłych · Mechanika statystyczna

Sformułowania
Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange'a · Formalizm Hamiltona

Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d'Alemberta

Podstawowe zagadnienia

Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa

Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d'Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

pokaż • dyskusja • edytuj

Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym:

$U=\frac{m\omega_0^2}{2}\cdot x^2,$

bądź równoważnie, jako układ, w którym działa liniowa siła F proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem x:

$\vec F \sim -\vec x .$

Spis treści

1 Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne
- 1.1 Definicja oscylatora harmonicznego
2 Przykłady oscylatorów
- 2.1 Wahadło matematyczne
- 2.2 Ciało na sprężynie
3 Oscylator harmoniczny tłumiony
4 Oscylator harmoniczny wymuszony

[edytuj] Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne

[edytuj] Definicja oscylatora harmonicznego

Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem, zwanym równaniem oscylatora harmonicznego:

$a(t)+ \omega_0^2 x(t) = 0$ ,

gdzie:

a(t) - przyspieszenie zależne od czasu,
x(t) - położenie zależne od czasu,
$\omega_0$ - częstość drgań oscylatora.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe

$\frac{d^2x(t)}{dt^2} + \omega_0^2 x(t) = 0$

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką

$\ddot x + \omega_0^2 x = 0$

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

[edytuj] Rozwiązanie równania oscylatora

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci

$x(t)= A \sin(\omega_0 t) +B \cos(\omega_0 t)\,$
$x(t)= C \sin(\omega_0 t+\varphi)\,$
$x(t)= D \cos(\omega_0 t+\varphi')\,$
$x(t)= F e^{ i \omega_0 t} + G e^{ - i \omega_0 t}\,$

gdzie: $A,B,C,\varphi,D,\varphi', F, G$ stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

$\omega_0$ jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań $T$ wynosi

$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$

częstotliwość drgań $\nu$ natomiast wynosi

$\nu=\frac{\omega_0}{2\pi}.$

[edytuj] Lagranżjan oscylatora

Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać

$\mathcal{L}= \frac{m\dot q^2}{2}-\frac{m\omega_0^2q^2}{2}$

gdzie:

$\dot q$ - prędkość uogólniona,
q - położenie uogólnione. Reszta oznaczeń bez zmian.

[edytuj] Hamiltonian oscylatora harmonicznego

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega_0^2q^2}{2}$

gdzie:

p - pęd uogólniony,
q - położenie uogólnione.

[edytuj] Przykłady oscylatorów

[edytuj] Wahadło matematyczne

Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci:

$ml\epsilon=-mg\sin\alpha.\,$

Dla małych kątów $\alpha, \; \sin\alpha\approx \alpha$ , a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego:

$\ddot \alpha + \frac g l \alpha = 0 \,$

$\omega_0^2 = \frac g l$

gdzie:

$\epsilon$ - przyspieszenie kątowe,
$\alpha$ - kąt odchylenia z położenia równowagi,
l - długość wahadła,
g - przyspieszenie ziemskie.

[edytuj] Ciało na sprężynie

Ciężarek o masie m na sprężynie

Poziomo poruszający się ciężarek jest przykładem oscylatora harmonicznego prostego. Jest to ciało o masie m na sprężynie na który działa liniowa siła sprężystości F odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x. Zakładając, że na układ nie działają siły zewnętrzne:

$\vec F= -k\cdot \vec x$

Siłę można przedstawić jako iloczyn masy i przyspieszenia, i ograniczając ruch do osi x, otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego:

$a(t) +\frac k m x(t)=0$

Dla:

$\omega_0^2 = \frac k m$

Dla ciężarka o masie m wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym g i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

gdzie:

x - wychylenie ciężarka z położenia równowagi,
a - przyspieszenie ciężarka,
m - masa ciężarka,
k - stałą sprężystości sprężyny.

[edytuj] Oscylator harmoniczny tłumiony

W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać:

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_o^2 x = 0$

Osobny artykuł: Tłumienie.

[edytuj] Oscylator harmoniczny wymuszony

Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.

Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = f(t)$

gdzie:

$\omega_0$ - częstość drgań własnych

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych $\cos(\omega t)$ .

Dlatego analizę równania można ograniczyć do:

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = A \cos(\omega t)$

gdzie:

ω - częstość siły wymuszającej,
A - amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,
β - współczynnik tłumienia

W przypadku gdy A = 0, uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założymy że β = 0, równanie oscylatora prostego.