Historia i autorzy

Podziel się:

Paczka falowa

Paczka falowa nie ulegająca dyspersji

Paczka falowa (pakiet falowy) – fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach.

[edytuj] Mechanizm powstawania

Płaska fala harmoniczna o stałej długości i stałej amplitudzie jest teoretycznym obiektem nieskończonym, nie występującym w rzeczywistości. W fali takiej w danym momencie przebieg powtarza się nieskończenie w danym kierunku. Jeśli nałoży się na siebie nieskończoną liczbę takich nieskończonych ciągów falowych, różniących się w długościami, to w wyniku interferencji konstruktywnej w pewnym obszarze wystąpią drgania w postaci fali o amplitudzie zależnej od współrzędnej przestrzennej w obrębie paczki falowej. W innych obszarach, w wyniku interferencji destruktywnej, drgania zostaną wygaszone.

W przeciwieństwie do nieskończonych (niezlokalizowanych) obiektów paczka falowa jest obiektem zlokalizowanym. Obiekt taki przemieszcza się w przestrzeni i przenosi informacje, a prędkość z jaką to się odbywa zwana jest prędkością grupową.

[edytuj] Podejście matematyczne

Przykładem propagacji (rozchodzenia się) fali bez dyspersji jest fala płaska będąca rozwiązaniem równania falowego postaci:

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \nabla^2 u}$

gdzie

$c$ – prędkość propagacji fali w danym ośrodku,

$u$ – zmienna charakteryzująca chwilową amplitudę fali w punkcie $x$ w chwili $t$ .

Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja propagacji fali płaskiej:

$u(\vec{x},t) = e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega t)}$

gdzie:

$i$ – jednostka urojona,

$\vec{k}$ – wektor falowy,

$\omega$ – pulsacja (częstość kołowa),

Kwadrat długości wektora falowego $\vec{k}$ w przypadku przestrzeni 3-wymiarowej jest sumą kwadratów liczb falowych względem poszczególnych osi:

$|\vec{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2+ k_z^2$

Natomiast kwadrat pulsacji $\omega$ może być zapisany jako:

$\omega^2 =|\vec{k}|^2 c^2$

Powyższa relacja pomiędzy $\omega$ , a $\vec{k}$ jest prawdziwa jeśli dana fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego. Równanie to opisuje dyspersję fali w ośrodku materialnym.

Można uprościć to rozwiązanie, wybierając układ współrzędnych w taki sposób, aby fala płaska rozchodziła się w kierunku $x$ . Rozwiązanie równania falowego przyjmuje wtedy postać:

$u(x,t)= A e^{i(k x-\omega t)} + B e^{-i(k x+\omega t)}\,$

w którym:

$\omega = kc,\, k = k_x\,$

Pierwszy człon powyższego równania reprezentuje propagację fali w kierunku dodatnich $x$ , jako że jest funkcją $x - ct$ . Drugi człon zaś, będący funkcją $x + ct$ , reprezentuje propagację fali w kierunku ujemnych wartości $x$ .

Jeśli paczka falowa jest silnie zlokalizowana, oznacza to, że ma więcej składowych koniecznych do konstruktywnej interferencji w obszarze paczki, i destruktywnej interferencji w obszarze gdzie następuje wygaszenie.

Przechodząc z dziedziny czasu $t$ do dziedziny pulsacji $\omega$ , dokonuje się unitarnej transformacji Fouriera i otrzymuje się uogólnioną postać paczki falowej, poprawną z punktu widzenia podstawowego rozwiązania w 1-wymiarowej przestrzeni:

$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{-\infty} A(k) ~ e^{i(kx-\omega(k)t)} \,dk$

W przypadku gdy:

$\omega(k) = kc \Leftarrow u(x,t) = F(x-ct)$

paczka porusza się w kierunku dodatnim, oraz w kierunku ujemnym gdy:

$\omega(k) = -kc \Leftarrow u(x,t) = F(x+ct)$

Czynnik stojący przed całką pojawia się tutaj przez wykonanie transformacji Fouriera. Amplituda $A(k)$ w tym wzorze jest przez zależność dyspersyjną funkcją $\omega$ . Zawiera ona współczynniki liniowych superpozycji fal płaskich. Współczynniki te mogą zostać wyrażone jako funkcja $u(x,t)$ ewaluowana w granicy przy $t = 0$ , z relacji wynikającą z odwrotnej transformacji Fouriera:

$A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{-\infty} u(x,0) ~ e^{-ikx}\,dx$ .

Paczka falowa

[edytuj] Mechanizm powstawania

[edytuj] Podejście matematyczne

[edytuj] Bibliografia