Historia i autorzy

Podziel się:

Prawo Gaussa (elektryczność)

Prawo Gaussa dla elektryczności w fizyce, zwane również twierdzeniem Gaussa, to prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności dielektrycznej ε, jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Spis treści

1 Prawo Gaussa w próżni
- 1.1 W ujęciu całkowym
- 1.2 W ujęciu różniczkowym
2 Prawo Gaussa w materii
3 Konsekwencje prawa Gaussa
4 Odpowiednik dla magnetyzmu
5 Odpowiednik dla grawitacji
6 Zobacz też
7 Przypisy

[edytuj] Prawo Gaussa w próżni

[edytuj] W ujęciu całkowym

Strumień $\Phi$ natężenia pola elektrycznego $\vec E$ , przenikający przez zamkniętą powierzchnię $S$ , ograniczającą obszar o objętości $V$ , jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego $Q$ zawartego w tym obszarze (objętości)^[1]:

$\Phi=\oint\limits_S\vec E \cdot d\vec S=\frac 1{\varepsilon_0}\int\limits_V\rho\,dV=\frac{Q}{\varepsilon_o}$

gdzie

wektor $d\vec S$ jest wektorem powierzchni,
współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność elektryczna próżni $\varepsilon_o$ .

[edytuj] W ujęciu różniczkowym

Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:

$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

gdzie:

$\nabla \cdot \vec{E}$ – dywergencja natężenia pola elektrycznego,
$\rho$ – gęstość ładunku.

[edytuj] Prawo Gaussa w materii

W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:

$\Phi=\frac{Q_{sw}+Q_{ind}}{\varepsilon_o}=\frac{Q_{sw}}{\varepsilon_r \varepsilon_o}=\frac{Q_{sw}}{\varepsilon}$

gdzie

$Q_{sw}$ – ładunki swobodne objęte powierzchnią S,
$Q_{ind}$ – ładunki indukowane w ośrodku objęte powierzchnią S,
$\varepsilon_r$ – względna przenikalność elektryczna ośrodka,
$\varepsilon$ – przenikalność elektryczna ośrodka (bezwzględna).

W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako

$\nabla \cdot \vec {E} = \frac{\rho_{sw}}{\varepsilon}$

gdzie

$\rho_{sw}$ – gęstość ładunków swobodnych.

Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez

$\vec {D} = \varepsilon \vec {E}$

Dla której prawo Gaussa brzmi: Strumień indukcji elektrycznej $\vec D$ przenikający przez zamkniętą powierzchnię $S$ jest równy ładunkowi elektrycznemu $Q$ zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią $S$ :

$\oint\limits_S\vec D\cdot d\vec S=\int\limits_V\rho\,dV=Q_{sw}$

lub w postaci różniczkowej^[2]

${\nabla} \cdot \vec {D} = \rho_{\mathrm{sw}}$

gdzie:

${\nabla} \cdot \vec {D}$ – dywergencja indukcji elektrycznej.

[edytuj] Konsekwencje prawa Gaussa

Wzór: $\oint\limits_S\vec E\ \cdot d\vec S=\frac{Q}\varepsilon$ jest wyrazem faktu, że pole wektorowe $\vec E$ jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego $Q$ pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości $r$ można zapisać jako:

$\Phi=\oint\limits _S \vec{E}\ \cdot d\vec{S} = S_{r} E(r)$

gdzie $S_{r}$ jest powierzchnią kuli. Z powyższego wynika:

$E(r) = \frac{Q}{\varepsilon S_{r} }$

Pole powierzchni kuli jest równe $4\pi r^{2}$ . Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego $q$ z ładunkiem punktowym:

$E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r ^{2}}$

$F(r) = \frac{Q q}{4\pi \varepsilon r ^{2}}$

Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania "wymiarowości" naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

[edytuj] Odpowiednik dla magnetyzmu

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

$\Phi=\oint\limits_S\vec B\ \cdot d\vec S=\oint\limits_V \nabla\cdot\vec B\,d V=0$

[edytuj] Odpowiednik dla grawitacji

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

$\oint\limits_S\vec g\ \cdot d\vec S= -4\pi GM$

gdzie:

$\vec g$ – natężenie pola grawitacyjnego
$G$ – stała grawitacji

Strumień natężenia pola $\vec g$ przez powierzchnię zamkniętą $S$ równy jest całkowitej masie $M$ zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez $-4\pi G$ .

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ D. Halliday, R. Resnick: Fizyka T.2. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
↑ Dielektryk w polu elektrycznym. [dostęp 2010-02-10].