Historia i autorzy

Podziel się:

Przestrzeń euklidesowa

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: przestrzeń euklidesowa w ujęciu geometrii syntetycznej.

Spis treści

1 Wprowadzenie
- 1.1 Podejście klasyczne
- 1.2 Podejście współczesne
2 Definicja
3 Konstrukcja
4 Przykłady
5 Własności
- 5.1 Topologia
- 5.2 Geometria różniczkowa
6 Uogólnienia
7 Bibliografia
8 Zobacz też
9 Przypisy

Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

Kluczową własnością przestrzeni euklidesowych jest ich „płaskość”. W geometrii wyróżnia się również inne przestrzenie, które nie są euklidesowe, np. płaszczyzna sfery: kąty odpowiednio zdefiniowanego trójkąta na sferze sumują się do wartości większej niż 180 stopni. W rzeczywistości istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa każdego wymiaru, choć istnieje wiele przestrzeni nieeuklidesowych tego samego wymiaru. Często przestrzenie te konstruuje się poprzez postępującą deformację przestrzeni euklidesowych.

[edytuj] Wprowadzenie

[edytuj] Podejście klasyczne

Osobny artykuł: geometria euklidesowa.

Modele obrazujące rozciągłość (prostą), powierzchnię i przestrzeń (trójwymiarową) były znane już w starożytności: ok. 300 p.n.e. grecki matematyk Euklides przedsięwziął badania nad zależnościami między odległościami i kątami, najpierw na płaszczyźnie (wyidealizowanej powierzchni), a następnie w przestrzeni. Dzisiaj właśnie te zależności znane są jako dwu- i trójwymiarowa geometria euklidesowa.

W podejściu tym nie definiuje się pojęć punktu, prostej, płaszczyzny, lecz przyjmuje je za dane – są to pojęcia pierwotne. Nie definiuje się również relacji należenia punktu do prostej (zob. incydencja), prostej do płaszczyzny itd. Wszystkie inne obiekty, takie jak kąt, odcinek, półprosta, okrąg itp., można wyrazić za pomocą wspomnianych pojęć pierwotnych, korzystając z aksjomatów (choć dziś nie korzysta się z niezupełnego systemu Euklidesa).

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby przestrzeń euklidesową rozbudować o obiekty nadrzędne względem punktu, prostej i płaszczyzny dodając analogicznie kolejne rodzaje obiektów. Należy tylko rozszerzyć definicję o pojęcia pierwotne kolejnych obiektów i relacje należenia obiektów „mniejszych” w „większych” („rozmiar” tych obiektów mierzy wymiar: przyjmuje się, że punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń mają wymiar równy kolejno: zero, jeden, dwa, trzy). Problematyczne okazuje się jedynie spójne komponowanie drzewa kolejnych pojęć i zależności między nimi. Z tego powodu często rezygnuje się dziś z wprowadzania geometrii euklidesowej we wspomniany sposób (tzw. geometria syntetyczna) korzystając raczej z teorii algebry i analizy (tzw. geometria analityczna).

[edytuj] Podejście współczesne

Jednym ze sposobów myślenia o płaszczyźnie euklidesowej jest postrzeganie jej jako zbioru punktów, które spełniają określone zależności wyrażalne za pomocą pojęć odległości i kąta. Przykładowo istnieją dwa zasadnicze przekształcenia płaszczyzny: przesunięcie (translacja), polegające na przemieszczeniu wszystkich punktów płaszczyzny o tę samą odległość w ustalonym kierunku, oraz obrót wokół ustalonego punktu wszystkich punktów płaszczyzny. Jedną z podstawowych zasad geometrii euklidesowej jest to, że dwie figury (tzn. podzbiory płaszczyzny) winny być uważane za równoważne (przystające), jeżeli jedna z nich może być przekształcona w drugą za pomocą ciągu przesunięć, obrotów i odbić (zob. grupa euklidesowa).

Aby uzyskać matematycznie precyzyjną teorię, należy jasno zdefiniować pojęcia takie jak: długość, odległość, równoległość (przesunięcie), prostopadłość, kąt (obrót, odbicie). Standardowo płaszczyznę euklidesową definiuje się jako dwuwymiarową rzeczywistą przestrzeń afiniczną wraz z iloczynem skalarnym. Wówczas

punkty przestrzeni afinicznej odpowiadają punktom płaszczyzny euklidesowej,
wektory stowarzyszonej z przestrzenią afiniczną przestrzeni liniowej odpowiadają przesunięciom,
iloczyn skalarny wprowadza pojęcia kąta i odległości, które umożliwiają zdefiniowanie obrotu.

Wyrażenie płaszczyzny euklidesowej w tym języku sprawia, że rozszerzenie tego pojęcia na dowolne wymiary jest już proste: terminologia, wzory i obliczenia nie stają się wówczas znacząco trudniejsze (jedyną trudnością mogą być obroty w wyższych wymiarach oraz wizualizacja takich przestrzeni – trudna nawet dla doświadczonych matematyków). Dzisiejsza matematyka umożliwia łatwe uogólnienie pojęć odległości i kąta na cztero-, pięcio-, a nawet więcej wymiarowe przestrzenie (nieformalnie: hiperprzestrzenie). Większość poniższego artykułu poświęcona jest rozwijaniu współczesnego opisu tych przestrzeni, niezbędnego do uogólnień na wyższe wymiary.

Często w rozważaniach pomija się istnienie przestrzeni afinicznej, która działa na przestrzeni liniowej w naturalny sposób. Intuicyjnie polega to na pominięciu wskazania początku przestrzeni, ponieważ może być ona przesunięta w dowolne miejsce (przedstawiony dalej model przestrzeni współrzędnych, prowadzący do modelu przestrzeni kartezjańskiej, ma naturalny wybór początku).

[edytuj] Definicja

Niech dana będzie przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb R$ wymiaru $n,$ w której określony jest standardowy iloczyn skalarny (nazwany euklidesowym). Przestrzeń afiniczną $(E, V)$ nazywa się wówczas przestrzenią euklidesową wymiaru $n.$

Skalary, czyli elementy ciała, będą oznaczane pismem pochyłym, np. $a, b.$ Elementy przestrzeni $E,$ nazywane punktami, oznaczane będą dalej symbolami prostymi, np. $\mathrm p, \mathrm q,$ zaś elementy przestrzeni $V$ nazywane wektorami będą oznaczane symbolami półtłustymi, np. $\mathbf v, \mathbf x$ lub dwoma symbolami prostymi ze strzałką nad nimi, np. $\overrightarrow{\mathrm{pq}}, \overrightarrow{\mathrm{st}}$ lub symbolami prostymi połączonymi znakiem odejmowania, np. $\mathrm q - \mathrm p, \mathrm t - \mathrm s,$ są to wektory wyznaczane przez uporządkowaną parę punktów.

Iloczyn skalarny $\cdot$ wektorów wyznacza metrykę

$d_e(\mathrm a, \mathrm b) = \left\|\overrightarrow{\mathrm{ab}}\right\| \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \left\|\mathrm b - \mathrm a\right\|$

dla $\mathrm a, \mathrm b \in E,$ nazwaną metryką (odległością) euklidesową, gdzie

$\|\mathbf v\| = \sqrt{\mathbf v \cdot \mathbf v}$

jest normą nazywaną normą euklidesową.

Analogicznie określa się metrykę między podprzestrzeniami $P, Q \subseteq E$ :

$d(P, Q) = \inf_\begin{smallmatrix}\mathrm p \in P,\\ \mathrm q \in Q \end{smallmatrix}~d(\mathrm p, \mathrm q).$

[edytuj] Konstrukcja

[edytuj] Przestrzeń współrzędnych rzeczywistych

Każdy punkt trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest wyznaczony przez trzy współrzędne.

Zobacz też: przestrzeń współrzędnych i współrzędne.

Niech $\mathbb R$ oznacza ciało liczb rzeczywistych. Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ przestrzeń wszystkich $n$ -elementowych ciągów liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad $\mathbb R$ oznaczaną $\mathbb R^n$ i nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych rzeczywistych. Co więcej, $\mathbb R^n$ jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą, dlatego wektory przestrzeni liniowej i punkty przestrzeni afinicznej utożsamia się zwykle w naturalny sposób. Jeżeli tak nie jest, punkty i wektory z $\mathbb R^n$ należy odróżniać; wówczas punkty zapisuje się zwykle w nawiasach okrągłych,

$\mathrm p = (p_1, p_2, \dots, p_n)$ ^[1],

a wektory w kwadratowych,

$\mathbf x = [x_1, x_2, \dots, x_n]$ ^[1],

gdzie wszystkie współrzędne $p_i$ oraz $x_i$ są rzeczywiste. Działania przestrzeni liniowej $\mathbb R^n$ zdefiniowane są wzorami

$\mathbf x + \mathbf y = [x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n],$

oraz

$a\mathbf x = [a x_1, a x_2, \dots, a x_n],$

zaś działanie przestrzeni afinicznej $\mathbb R^n$ dane jest jako

$\mathrm p + \mathbf x = (p_1 + x_1, p_2 + x_2, \dots, p_n + x_n).$

Przestrzeń liniowa $\mathbb R^n$ ma naturalną bazę nazywaną standardową (lub kanoniczną):

$\mathbf e_1 = [1, 0, \dots, 0],$

$\mathbf e_2 = [0, 1, \dots, 0],$

$\vdots$

$\mathbf e_n = [0, 0, \dots, 1],$

w której dowolny wektor $\mathbb R^n$ może być zapisany jednoznacznie w postaci

$\mathbf x = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf e_i.$

Przestrzeń $\mathbb R^n$ jest w związku z tym przykładem szerszej klasy przestrzeni z układem współrzędnych kartezjańskich, w których dowolny punkt można jednoznacznie identyfikować z jego współrzędnymi.

Przestrzeń afiniczna $\mathbb R^n$ ma także naturalnie wyznaczony początek $\mathrm{o},$ mianowicie punkt

$\mathrm{0} = (0, 0, \dots, 0),$

z tego właśnie powodu współrzędne punktu

$\mathrm x = \mathrm{o} + \sum_{i=1}^n x_i \mathbf e_i$

pokrywają się zwykle ze współrzędnymi odpowiadającego mu wektora

$\mathbf x = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf e_i.$

Przestrzeń $\mathbb R^n$ jest prototypowym przykładem $n$ -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej. Istotnie, każda $n$ -wymiarowa rzeczywista przestrzeń liniowa jest izomorficzna z $\mathbb R^n.$ Wspomniany izomorfizm nie jest jednak kanoniczny, jego wybór jest równoważny wyborowi bazy w $V.$ Czasami jednak zamiast w $\mathbb R^n$ wygodniej jest pracować w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych. Umożliwia to pracę w przestrzeni pozbawionej współrzędnych (tzn. bez wyboru bazy).

[edytuj] Struktura euklidesowa

Przestrzeń euklidesowa to więcej niż przestrzeń współrzędnych rzeczywistych. Wprowadzenie w niej geometrii euklidesowej umożliwia mówienie o odległościach między punktami i kątach między prostymi, czy wektorami. Naturalnym sposobem uzyskania tych pojęć jest wprowadzenie standardowego (euklidesowego) iloczynu skalarnego na $\mathbb R^n.$ Definiuje się go wzorem

$\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \dots + x_n y_n,$

jego wynikiem jest zawsze liczba rzeczywista. Co więcej, iloczyn skalarny $\mathbf x$ przez siebie jest zawsze nieujemny, co pozwala na zdefiniowanie „długości” wektora $\mathbf x$ jako

$\|\mathbf x\| = \sqrt{\mathbf x \cdot \mathbf x} = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}.$

Funkcja ta spełnia własności normy i jest nazywana normą euklidesową na $\mathbb R^n.$ Kąt wypukły $\theta,$ tzn. $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 180^{\circ}$ między wektorami $\mathbf x$ oraz $\mathbf y$ definiuje się jako

$\theta = \cos^{-1}\left(\tfrac{\mathbf x \cdot \mathbf y}{\|\mathbf x\|\|\mathbf y\|}\right),$

gdzie $\cos^{-1}$ oznacza funkcję arcus cosinus.

Wreszcie można za pomocą normy zdefiniować na $\mathbb R^n$ metrykę (funkcję odległości):

$d_e(\mathrm x, \mathrm y) = \|\mathrm x - \mathrm y\| = \left(\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2\right)^{1/2}$

nazywaną metryką euklidesową. Może być ona postrzegana jako forma twierdzenia Pitagorasa i stanowi ona przypadek szczególny tzw. odległości Mahalanobisa. Metryka euklidesowa jest również przypadkiem szczególnym (z parametrem $2$ ) szerszej klasy metryk wyznaczanych przez tzw. metrykę Minkowskiego.

[edytuj] Przestrzeń kartezjańska

Zobacz też: geometria analityczna i współrzędne kartezjańskie.

Podsumowując: przestrzeń współrzędnych rzeczywistych wraz ze strukturą euklidesową nazywana jest przestrzenią kartezjańską; oznacza się ją często symbolem $\mathbb E^n$ lub $E^n.$ Wielu autorów^[2] oznacza ją jednak symbolem $\mathbb R^n$ i nazywa przestrzenią euklidesową (choć jest to tylko jeden z jej modeli) definiując strukturę euklidesową lub nawet zakładając istnienie nie wspominając o innych przestrzeniach o geometrii euklidesowej. Przestrzeń kartezjańska jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej – ułatwia ona zapis twierdzeń geometrycznych umożliwiając ich zapis jako działania na liczbach rzeczywistych i odejście od używania metod geometrycznych na rzecz metod algebry liniowej czy analizy matematycznej. Wspomniany sposób uprawiania geometrii nazywa się geometrią analityczną. Struktura euklidesowa czyni z $\mathbb R^n$ przestrzeń unitarną (a nawet przestrzeń Hilberta), unormowaną przestrzeń liniową oraz przestrzeń metryczną. Ponadto jest ona rozmaitością riemannowską.

Każda przestrzeń kartezjańska jest przestrzenią ortogonalną z dodatnio określoną formą dwuliniową. Wygodnym narzędziem pozwalającym stwierdzić, czy daną przestrzeń ortogonalną można wyposażyć w strukturę euklidesową (zatem czy forma dwuliniowa jest iloczynem skalarnym) jest kryterium Sylvestera.

W szerszym znaczeniu przestrzeń kartezjańska to przestrzeń będąca iloczynem kartezjańskim zbiorów (klas)^[3].

[edytuj] Przykłady

Do najprostszych przykładów zaliczają się opisane wyżej przestrzenie kartezjańskie, wśród nich

prosta euklidesowa,
w których punkty i wektory utożsamia się z liczbami rzeczywistymi, kąt między dowolnymi dwoma wektorami o początku w zerze jest równy $0^\circ$ (punkty je wyznaczające leżą po jednej stronie zera) lub $180^{\circ}$ (punkty te leżą po przeciwnej stronie zera, tzw. liczby przeciwne), a norma wektora to wartość bezwzględna liczby, zaś metryka to bezwzględna różnica dwóch liczb;
płaszczyzna euklidesowa
- postrzegana jako dwuwymiarowa przestrzeń afiniczna nad liczbami rzeczywistymi z określoną analogicznie strukturą euklidesową lub
- płaszczyzna zespolona, gdzie punkty i wektory to liczby zespolone, kąt między nimi dany jest jako różnica ich argumentów, długość (norma) to moduł liczby zespolonej z naturalnie określoną metryką (jako moduł różnicy).

Oprócz przestrzeni kartezjańskich istnieją również inne przestrzenie euklidesowe, np. przestrzeń $\mathbb R_2[X]$ wielomianów stopnia nie większego niż dwa zmiennej rzeczywistej z iloczynem skalarnym

$\langle f, g \rangle = \int\limits_{-1}^1 f(x) g(x) \operatorname dx.$

[edytuj] Własności

[edytuj] Topologia

Ponieważ przestrzeń $\mathbb E^n$ ma strukturę metryczną, to jest ona również przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną przez metrykę euklidesową. Topologia ta nazywana jest topologią euklidesową. Okazuje się, że jest ona równoważna z topologią produktową $n$ kopii prostej rzeczywistej $\mathbb R$ ze standardową (a więc euklidesową) topologią.

Zbiór w $\mathbb E^n$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu. Rodzina wszystkich kul otwartych o wymiernych promieniach i środkach w punktach o wymiernych współrzędnych, tworzy bazę tej przestrzeni. Dlatego też $\mathbb E^n$ jest przestrzenią o bazie przeliczalnej i ma ciężar $\aleph_0.$

Przestrzeń $\mathbb E^n$ jest zupełna i ośrodkowa, rolę ośrodka (przeliczalnego podzbioru gęstego) może pełnić np. zbiór punktów o współrzędnych wymiernych. Dodatkowo istnieje prosta charakteryzacja zbiorów zwartych – są to zbiory domknięte i ograniczone w tej przestrzeni. Dowolny otwarty zbiór spójny tej przestrzeni jest łukowo spójny.

Ważnym wynikiem dotyczącym topologii $\mathbb E^n$ jest nietrywialne twierdzenie Brouwera o niezmienniczości obszaru: dowolny podzbiór $\mathbb E^n$ (z topologią podprzestrzeni), który jest homeomorficzny z innym otwartym podzbiorem $\mathbb E^n$ jest otwarty. Bezpośrednią konsekwencją tego faktu jest, że przestrzeń $\mathbb E^m$ nie jest homeomorficzna z $\mathbb E^n$ o ile $m \ne n$ – jest to twierdzenie intuicyjnie „oczywiste”, jednak trudne do dowiedzenia w inny sposób.

Wiele własności przestrzeni euklidesowych zależy od ich wymiaru, np. w przestrzeni nietrójwymiarowej każdy węzeł jest trywialny (tzn. homeomorficzny z okręgiem).

[edytuj] Geometria różniczkowa

Dowolna przestrzeń euklidesowa jest rozmaitością riemannowską, a więc i rozmaitością różniczkową. Prosta euklidesowa rozumiana jako krzywa parametryczna ma w każdym punkcie zerową krzywiznę jak i skręcenie. Płaszczyzna euklidesowa ma w każdym punkcie zerową krzywiznę Gaussa, co więcej: każdy punkt płaszczyzny euklidesowej jest punktem spłaszczenia. Krzywymi geodezyjnymi na płaszczyźnie euklidesowej są proste (euklidesowe).

[edytuj] Uogólnienia

Przestrzenie euklidesowe traktuje się we współczesnej matematyce jako prototypy innych, bardziej skomplikowanych obiektów geometrycznych. Przykładowo rozmaitość różniczkowa to przestrzeń topologiczna Hausdorffa, która jest lokalnie dyfeomorficzna z przestrzenią euklidesową. Dyfeomorfizmy nie zachowują odległości ani kątów, tak więc w rozmaitościach różniczkowych brak wspomnianych kluczowych pojęć geometrii euklidesowej. Jednakże jeżeli dodatkowo zdefiniuje się na przestrzeni stycznej rozmaitości zmieniający się w sposób gładki iloczyn skalarny, to uzyskaną przestrzeń nazywa się rozmaitością riemannowską. Innymi słowy rozmaitość riemannowska to przestrzeń konstruowana poprzez deformację i sklejanie przestrzeni euklidesowych. W takich przestrzeniach dostępne są pojęcia odległości oraz kąta, choć sama przestrzeń ma ma zakrzywioną, nieeuklidesową naturę. Najprostsza rozmaitość riemannowska składa się z $\mathbb R^n$ o stałym iloczynie skalarnym – jest ona w istocie tożsama z $n$ -wymiarową przestrzenią euklidesową.

Jeżeli przekształcić iloczyn skalarny przestrzeni euklidesowej tak, by mógł on być ujemny w jednym lub większej liczbie kierunków, to taką przestrzeń nazywa się przestrzenią pseudoeuklidesową. Rozmaitości różniczkowe złożone z takich przestrzeni nazywa się rozmaitościami pseudoriemannowskimi. Być może najsławniejszym ich zastosowaniem jest teoria względności, gdzie pusta czasoprzestrzeń bez materii reprezentowana jest przez płaską przestrzeń pseudoeuklidesową, którą nazywa się przestrzenią Minkowskiego; czasoprzestrzenie zawierające materię tworzą inne rozmaitości pseudoriemannowskie, grawitacja z kolei odpowiada krzywiźnie takiej rozmaitości.

Nasz wszechświat, podlegający względności, nie jest euklidesowy. Fakt ten jest istotny w rozważaniach teoretycznych astronomii i kosmologii, a także w niektórych problemach natury praktycznej takich jak nawigacja satelitarna, czy nawigacja lotnicza. Niemniej euklidesowy model wszechświata nadal może być wykorzystywany do rozwiązywania wielu innych problemów praktycznych z zadowalającą dokładnością.

[edytuj] Bibliografia

Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: 1991.
Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: 1979, seria: Biblioteka Matematyczna t.48.
Andrzej Birkholc: Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: 2002.
John Oprea: Geometria różniczkowa i jej zastosowania. Warszawa: 2002.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ ^1,0 ^1,1 W algebrze liniowej punkty i wektory zapisuje się często w notacji macierzowej, tzn. w postaci wektorów kolumnowych, czyli macierzy postaci $\scriptstyle \mathrm p = \left(\begin{smallmatrix} p_1 \\ \vdots \\ p_n \end{smallmatrix}\right)$ oraz $\scriptstyle \mathbf x = \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{smallmatrix}\right],$ lub poziomo, z wykorzystaniem transpozycji, $\scriptstyle \mathrm p = \left(\begin{smallmatrix} p_1 & \dots & p_n \end{smallmatrix}\right)^\operatorname T$ oraz $\scriptstyle \mathbf x = \left[\begin{smallmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{smallmatrix}\right]^\operatorname T$ dla odpowiednio punktów i wektorów.
↑ Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: 2005, s. 18-19.
↑ Alfred Tarski, Steven R. Givant: A formalization of set theory without variables. AMS Bookstore, 1987, s. 3. ISBN 0821810413, 9780821810415.