Równania Hamiltona

Równania Hamiltona - w mechanice teoretycznej układ równań opisujących zmianę parametrów układu opisywanego za pomocą funkcji Hamiltona (pędów i położeń cząstek). Jest to układ 2s równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Dla hamiltonianu postaci:

$H = H(p_{1}, \ldots, p_{s}, q_{1}, \ldots, q_{s}, t)$

gdzie:

$p_{i}$ - i-ty pęd uogólniony

$q_{i}$ - i-ta współrzędna uogólniona

s - liczba stopni swobody układu równa ilości pędów i współrzędnych uogólnionych

Układ równań Hamiltona ma postać:

$\left\{ \begin{matrix}\dot{p}_{i} = \displaystyle- \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\\\dot{q}_{i} = \displaystyle \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\\\end{matrix} \right.\quad i=1, \ldots, s$

Jeśli zaś przy zapisie użyć nawiasów Poissona, układ wygląda bardziej symetrycznie:

$\left\{ \begin{matrix}\dot{p}_{i} = \displaystyle \{q_{i},H\}\\\dot{q}_{i} = \displaystyle \{p_{i},H\}\\\end{matrix} \right.\quad i=1, \ldots, s$

Zbiór funkcji $\{p_{1}(t), \ldots, p_{s}(t), q_{1}(t), \ldots, q_{s}(t)\}$ spełniających powyższy układ równań dla zadanych warunków początkowych (lub brzegowych) nazywamy trajektorią.

Równania Hamiltona są innym zapisem równań ruchu w mechanice Newtona oraz równań Eulera-Lagrange'a w mechanice Lagrange'a.