Historia i autorzy

Podziel się:

Równanie Einsteina

Ten artykuł dotyczy równania pola. Zobacz też: E = mc² - równoważność masy i energii.

Ogólna teoria względności

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Koncepcje podstawowe
Szczególna teoria względności • Ogólna teoria względności • Zasada równoważności • Linia świata • Geometria Riemanna

Zjawiska
Problem Keplera • Soczewkowanie grawitacyjne • Fale grawitacyjne • Zjawisko Lensa-Thirringa • Efekt geodezyjny • Horyzont zdarzeń • Osobliwość grawitacyjna • Czarna dziura

Równania
Grawitacja liniowa • Parametryczny formalizm postnewtonowski • Równanie Einsteina • Równania Friedmana • Formalizm ADM • Formalizm BSSN

Teorie zaawansowane
Teoria Kaluzy-Kleina • Grawitacja kwantowa

Rozwiązania
metryki: Schwarzschilda • Reissnera–Nordströma • Gödla • Kerra · Kerra-Newmana • Kasnera • Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera model Milne'a • pp-fale

Znani uczeni
Albert Einstein • Hermann Minkowski • Arthur S. Eddington • Georges Lemaître • Karl Schwarzschild • Hans Thirring • Josef Lense • Howard P. Robertson • Roy Kerr • Alexander Friedmann • Subramanyan Chandrasekhar • Stephen Hawking i inni...

pokaż • dyskusja • edytuj

Równanie Einsteina – równanie pola ogólnej teorii względności, zwane też równaniem pola grawitacyjnego.

Równanie to ma następującą postać:

$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = - \frac{8 \pi}{c^4} G T_{\mu \nu}$

gdzie: $R_{\mu \nu}$ - tensor krzywizny Ricciego, $R$ - skalar krzywizny Ricciego, $g_{\mu \nu}$ - tensor metryczny, $\Lambda$ - stała kosmologiczna, $T_{\mu \nu}$ - tensor energii-pędu, $\pi$ - liczba pi, c - prędkość światła w próżni, G - stała grawitacji. Natomiast $g_{\mu \nu}$ opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem symetrycznym 4 x 4, ma więc 10 niezależnych składowych.

Jest to równanie tensorowe, jednak rozbijając tensor na składowe można otrzymać z niego układ równań liczbowych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czterech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba niezależnych równań wynosi 6.

Powyższa postać równania przedstawiona jest przy użyciu konwencji znaków tensora metrycznego (+---) stosowanej często w polskiej literaturze. Konwencja ta nie jest jedyną możliwą. Spotyka się czasem (np. w angielskiej wikipedii) zapis przy użyciu alternatywnej konwencji (-+++), co prowadzi do zmiany znaku prawej strony równania.

Równanie Einsteina można rozumieć jako równanie na tensor metryczny $g_{\mu\nu}$ który jest określony poprzez rozkład materii i energii zawarty w tensorze energii-pędu. Pomimo z pozoru prostego wyglądu równanie Einsteina jest bardzo skomplikowane. Spowodowane jest to złożoną i nieliniową zależnością tensora i skalara krzywizny Ricciego od tensora metrycznego. W konsekwencji równanie Einsteina zostało rozwiązane jedynie w nielicznych przypadkach - np. dla układów o sferycznie-symetrycznym rozkładzie masy (np. metryka Schwarzschilda).

W zastosowaniach astrofizycznych (ale nie kosmologicznych) stałą kosmologiczną można zaniedbać. Równanie Einsteina bez stałej kosmologicznej można zapisać w bardziej zwartej postaci definiując tensor Einsteina:

$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$

który jest symetrycznym tensorem drugiego rzędu będącym funkcją tensora metrycznego $g_{\mu\nu}$ . Przechodząc do jednostek geometrycznych, gdzie $G=c=1$ , otrzymamy równanie Einsteina w postaci:

$G_{\mu\nu}=-8\pi T_{\mu\nu}$ .

Lewa strona równania reprezentuje krzywiznę czasoprzestrzeni określoną tensorem metrycznym. Prawa strona natomiast opisuje materię i energię wypełniającą czasoprzestrzeń. Tak więc pomimo złożonej szczegółowej formy matematycznej fundamentalne znaczenie równania Einsteina można zamknąć w stwierdzeniu: rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni wprost i jednoznacznie określa jej krzywiznę.

Rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni opisywana jest przez tensor energii-pędu. Każda z jego składowych określa strumień pędu na jednostkę objętości przestrzeni. Składowa 0,0 oznacza np. gęstość masy. W zastosowaniach kosmologicznych można przyjąć przybliżony wzór:

$T_{\mu \nu}=(\epsilon+P)u_{\mu}u_{\nu}-g_{\mu \nu}P$

gdzie u jest wektorem jednostkowym $u_{\mu}u^{\mu}=1$ , $\epsilon$ jest przestrzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.

Wraz z równaniem geodezyjnych, równanie Einsteina stanowi podstawę matematycznego sformułowania Ogólnej Teorii Względności.

[edytuj] Nieliniowość równania

Równanie Einsteina jest układem 10 sprzężonych równań eliptyczno-hiperbolicznych na składowe tensora metrycznego. Nieliniowość równań odróżnia ogólną teorię względności od innych współczesnych teorii fizycznych. Na przykład równania Maxwella są liniowe tak w polach magnetycznych jak i elektrycznych oraz w rozkładach prądów i ładunków. Podobnie równanie Schrödingera mechaniki kwantowej jest liniowe w funkcji falowej co oznacza, że suma rozwiązań jest także rozwiązaniem.

[edytuj] Rozwiązania w próżni

Pamiętając, że $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ równanie Einsteina można wysumawać z $g^{\mu\nu}$ , otrzymujemy:

$-R+4 \Lambda = -\kappa T$

gdzie $T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$ jest śladem tensora energii-pędu. W próżni gdy $\epsilon =0$ i $P=0$ rozwiązaniem równań Einsteina jest przestrzeń Ricci płaska ( $R_{\mu\nu}=0$ (gdy $\Lambda=0$ ), np. przestrzeń Minkowskiego ale również rozwiązanie z metryką Karla Schwarzschilda). Gdy stała kosmologiczna jest różna od zera nawet w próżni czasoprzestrzeń ma stałą krzywiznę $R = 4\Lambda$ (Wszechświat de Sittera). Podobnie będzie, gdy materia posiada znikający ślad tensora energii-pędu T. Taką własność ma materia ultrarelatywistyczna (gdy masa m → 0, wtedy równanie stanu daje $P=\epsilon/3$ , przykładem jest gaz fotonowy).

[edytuj] Bibliografia

The Meaning of Einstein's Equation, John C. Baez, Emory F. Bunn, Amer. Jour. Phys. 73 (2005), 644-652 (ang.)