Historia i autorzy

Podziel się:

Szereg Fouriera

Ten artykuł należy dopracować zgodnie z zaleceniami edycyjnymi:
artykuł wymaga poszerzenia o szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Szereg Fouriera – w matematyce szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów (kompresja jpeg), a nawet w muzyce (kompresja mp3)^[1].

[edytuj] Definicja

Niech dana będzie funkcja okresowa $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o okresie $T \in \mathbb{R}^{+}$ , bezwzględnie całkowalna w przedziale $\left [ \frac{-T}{2}, \frac{T}{2} \right ]$ .

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

$S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \left( \frac {2n\pi}{T}x \right) + b_n \sin \left( \frac {2n\pi}{T}x \right) \right)$

(1.1)

O współczynnikach określonych następującymi wzorami:

$a_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \left( \frac {2n\pi}{T}x \right) dx,\ \ \ \ n = 0, 1, 2,\dots$

(1.2)

$b_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \left( \frac {2n\pi}{T}x \right) dx,\ \ \ \ n = 1, 2, 3,\dots$

(1.3)

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (T oznacza okres funkcji) $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ . $\omega$ nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Stosując takie oznaczenie powyższe wzory przyjmują postać:

$S(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \left( n \omega x \right) + b_n \sin \left( n \omega x \right) \right)$

(1.1a)

$a_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \left( n \omega x \right) dx,\ \ \ \ n = 0, 1, 2,\dots$

(1.2a)

$b_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \left( n \omega x \right) dx,\ \ \ \ n = 1, 2, 3,\dots$

(1.3a)

Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera

Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera

Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera

[edytuj] Własności

Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

[edytuj] Lemat I (całki pomocnicze)

n jest liczbą całkowitą

$\int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = 0 \atop 2T ~~~ gdy ~~ n=0 } \right.$

$\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x dx = 0$

m, n są liczbami naturalnymi

$\int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \cos m \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = m \atop T ~~~ gdy ~~ n = m } \right.$

$\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x \sin m \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = m \atop T ~~~ gdy ~~ n = m } \right.$

$\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x \cos m \omega x dx = 0$

[edytuj] Lemat II

$\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha = \frac{\sin (N+\frac{1}{2}) \alpha}{2 \sin \frac{1}{2} \alpha}$

[edytuj] Dowód

$\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha = \Re \left(-\frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{N} e^{ i n \alpha} \right) = \Re \left( -\frac{1}{2} + \frac{1-e^{i(N+1) \alpha}}{1 - e^{i \alpha}} \right)$ $= -\frac{1}{2} + \frac{1}{|1-e^{i \alpha}|^2} \Re ((1-e^{i(N+1) \alpha})(1-e^{-i \alpha}))$ $= -\frac{1}{2} + \frac{1}{(1- \cos \alpha) ^2 + \sin^2 \alpha} \Re (1-e^{-i \alpha} -e^{i(N+1) \alpha} + e^{iN \alpha})$

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):

$\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha = -\frac{1}{2}+\frac{1-\cos \alpha - \cos (N+1) \alpha + \cos N \alpha}{2(1- \cos \alpha)}$ $= \frac{\cos N \alpha - \cos (N+1) \alpha}{2(1- \cos \alpha)} = \frac{2 \sin (N+\frac{1}{2}) \alpha \sin \frac{1}{2} \alpha}{4 \sin^2 \frac{1}{2} \alpha} = \frac{\sin (N+\frac{1}{2}) \alpha}{2 \sin \frac{1}{2} \alpha}$

q. e. d.

[edytuj] Lemat III

Osobny artykuł: Lemat Riemanna.

Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a; b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to $\lim_{n \to \infty} \int\limits_a^b f(x) \sin n xdx = 0$

[edytuj] Twierdzenie (Eulera–Fouriera)

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f(x) to współczynniki $a_k, b_k$ są wyrażone wzorami (1.2), (1.3).

[edytuj] Dowód

$f(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty \left(a_k \cos k \omega x + b_k \sin k \omega x \right)$

Mnożąc powyższą równość przez $\cos n \omega x$ , całkując szereg w granicach od -T do T (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy: $\int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x dx = \frac {a_0}{2} \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x dx +$ $\sum_{k = 1}^\infty \left(a_k \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \cos k \omega x dx + b_k \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \sin k \omega x dx \right)$

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że n jest różne od k (gdy n = 0 zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy: $\int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x dx = a_n T$

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez $\sin n \omega x$ )

[edytuj] Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

[edytuj] Dowód

Niech $x_0$ będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy oczywiście:

$a_n \cos n \omega x_0 + b_n \sin n \omega x_0 = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x dx \cos n \omega x_0$ $+ \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \sin n \omega x dx \sin n \omega x_0 =$ $=\frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x)(\cos n \omega x \cos n \omega x_0 + \sin n \omega x \sin n \omega x_0)dx =$ $\frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega (x-x_0)dx$

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób: $S_N = \frac{1}{2T} \int\limits_{-T}^{T} f(x)dx + \sum_{n=1}^N \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega (x-x_0)dx =$ $= \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \left( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^N \cos n \omega (x-x_0) \right) dx$

Stosując do tego wyrażenia lemat II otrzymujemy następujący wzór: $S_N = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) (x-x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} (x-x_0)}dx$

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

$S_N = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x+x_0) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx$

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest oczywiście rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc f(x) = 1 mamy: $1 = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx$

Mnożąc powyższą równość przez $f(x_0)$ i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu otrzymujemy:

(*) $S_N - f(x_0) = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} (f(x+x_0) - f(x_0)) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx$

Rozważmy następującą granicę: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{x} \frac{x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} = \frac{f'(x_0)}{\omega}$

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie $x_0$

Możemy określić następującą funkcję: $\phi (x) = \left \{ {\frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} ~~~ gdy ~~ x \not = 0 \atop \frac{f'(x_0)}{\omega} ~~~ gdy ~~ x=0 } \right.$

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki wzór (*) możemy zapisać w postaci:

$S_N - f(x_0) = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \phi (x) \sin \omega (N+\frac{1}{2}) xdx$

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc: $\lim_{N \to \infty} (S_N - f(x_0)) =\lim_{N \to \infty} \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \phi (x) \sin \omega (N+\frac{1}{2}) xdx = 0$

czyli:

$\lim_{N \to \infty} S_N = f(x_0)$

q. e. d.

[edytuj] Linki zewnętrzne

Aplet Java obrazujący idee szeregu Fouriera

Przypisy

↑ Transformata Fouriera - prezentacja. [dostęp 22.12.2009].