Historia i autorzy

Podziel się:

Zależność zmiennych losowych

Ten artykuł dotyczy relacji między zmiennymi losowymi.. Zobacz też: zmienna zależna i zmienne niezależne w analizie regresji.

Wykresy rozrzutu pokazujące przykładowe zależności między zmiennymi wraz z odpowiadającymi im wartościami współczynnika korelacji Pearsona

Zależność statystyczna zmiennych losowych (korelacja) – związek pomiędzy dwiema zmiennymi losowymi $X$ i $Y$ .

Intuicyjnie, zależność dwóch zmiennych oznacza, że znając wartość jednej z nich, dałoby się przynajmniej w niektórych sytuacjach dokładniej przewidzieć wartość drugiej zmiennej, niż bez tej informacji.

W dalszej części artykułu będziemy rozważać zmienne losowe o wartościach rzeczywistych i zdarzenia określone na ustalonej przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ . Jeśli $X$ jest zmienną losową, to symbolem $P_X$ oznaczać będziemy jej rozkład.

Spis treści

1 Zmienne rzeczywiste
2 Zmienne losowe o wartościach rzeczywistych
- 2.1 Niezależność dowolnej rodziny zmiennych losowych
- 2.2 Wartość oczekiwana iloczynu niezależnych zmiennych losowych
3 Niektóre twierdzenia wykorzystujące założenie niezależności zmiennych
4 Popularne błędy
5 Przypisy
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Zmienne rzeczywiste

[edytuj] Niezależność statystyczna

Mówimy, że zmienne losowe $X,Y$ są niezależne, gdy dla każdych liczb rzeczywistych $a,b$ zachodzi równość

$P(X\leqslant a)P(Y\leqslant b)=P(X\leqslant a \and Y\leqslant b)$

Powyższy wzór jest uogólniany na dowolną liczbę zmiennych (por. rozdział Zmienne losowe o wartościach rzeczywistych.)

W szczególności niezależność każdej dla pary zmiennych $X_i,X_j$ nie oznacza koniecznie niezależności wszystkich zmiennych $X_1,X_2,\dots X_n$ .

[edytuj] Zależność statystyczna

Mówimy, że zmienne losowe $X, Y$ są zależne, gdy nie są one niezależne - to znaczy, dla pewnych liczb rzeczywistych $a,b$

$P(X\leqslant a)P(Y\leqslant b) \ne P(X\leqslant a \and Y\leqslant b)$

lub w języku dystrybuant:

$F_X(a)F_Y(b) \ne F_{XY}(a,b)$

[edytuj] Szczególne przypadki

[edytuj] Zależność monotoniczna

Dodatnia zależność monotoniczna zachodzi, gdy zwiększenie wartości jednej ze zmiennych oznacza zwiększenie wartości oczekiwanej drugiej zmiennej. Analogicznie ujemna zależność monotoniczna zachodzi, gdy zwiększenie jednej ze zmiennych oznacza zmniejszenie drugiej.

Ściśle zależność monotoniczna (a konkretniej jej odmiana zwana Quadrant Dependence) została określona przez Lehmana (1966). Dodatnia zależność monotoniczna:

$\bigwedge_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} P(X<x | Y>y)\leqslant P(X<x)$

Ujemna zależność monotoniczna:

$\bigwedge_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} P(X<x | Y>y)\geqslant P(X<x)$

Istnieją też inne definicje zależności monotonicznej. Lehman podał także dwie silniejsze definicje, a Kowalczyk i Pleszczyńska (1977) także definicję słabszą.

Powyższe definicje obejmują skrajny przypadek zależności zmiennych ( $\rho=\pm 1$ ). W praktyce zależność nie musi być pełna. Miarą stopnia zależności monotonicznej są współczynniki korelacji rangowej.

[edytuj] Zależność liniowa

Szczególnym przypadkiem zależności monotonicznej jest zależność liniowa. W przypadku skrajnym zachodzi, gdy jedna ze zmiennych jest liniowo zależna od drugiej zmiennej. W praktyce tu również zależność nie musi być pełna. Miarą stopnia zależności liniowej jest np. współczynnik korelacji Pearsona.
Jeżeli zmienne losowe są niezależne i całkowalne, to ich kowariancja jest równa zeru. Bezpośrednim wnioskiem z tego twierdzenia jest następujący fakt:
Jeżeli zmienne losowe $X_1, \ldots, X_n$ są całkowalne i parami niezależne, to

$D^2(X_1+\ldots+X_n)=D^2X_1+\ldots D^2X_n$ .

[edytuj] Zmienne losowe o wartościach rzeczywistych

Zmienne losowe $X_1, \ldots, X_n$ nazywamy niezależnymi, gdy dla każdego ciągu zbiorów borelowskich (na prostej) $B_1, \ldots, B_n$ spełniony jest warunek

$P(X_1\in B_1,\ldots, X_n\in B_n)=P(X_1\in B_1)\cdot\ldots\cdot P(X_n\in B_n)$ .

Innymi słowy, zmienne $X_1, \ldots, X_n$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy generowane przez nie σ-ciała^[1] $\sigma(X_1),\ldots, \sigma(X_n)$ są niezależne.

Używając zmiennych losowych możemy opisywać niezależność zdarzeń. I tak, zdarzenia $A_1, \ldots, A_n$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy niezależne są ich indykatory $\mathbf{1}_{A_1}, \ldots, \mathbf{1}_{A_n}$ , rozpatrywane jako zmienne losowe. Często wygodnie jest używać następującej charakteryzacji niezależności zmiennych losowych:

Jeśli $X_1, \ldots, X_m$ są zmiennymi losowymi, to każde dwa z następujących zdań są równoważne:

Zmienne losowe $X_1, \ldots, X_m$ są niezależne.
$P_{(X_1, \ldots, X_n)}=P_{X_1}\otimes \ldots \otimes P_{X_n}$ , tzn. rozkład łączny wektora losowego $(X_1, \ldots, X_n)$ jest produktem rozkładów odpowiednich zmiennych losowych.
$P(X_1\leqslant x_1, \ldots, X_n\leqslant x_n)=P(X_1\leqslant x_n)\cdot\ldots\cdot P(X_n\leqslant x_n)$ dla każdych liczb rzeczywistych $x_1, \ldots, x_n$ , tzn. dystrybuanta wielowymiarowa wektora losowego $(X_1, \ldots, X_n)$ jest iloczynem dystrybuant odpowiednich zmiennych losowych.

Ponadto, jeśli zmienne losowe $X_1, \ldots, X_n$ mają rozkłady ciągłe, a $g_1, \ldots, g_n$ są ich gęstościami, to są one niezależne gdy funkcja

$g(x_1, \ldots, x_n)=g_1(x_1)\cdot\ldots\cdot g_n(x_n)$

jest gęstością wektora losowego $(X_1, \ldots, X_n)$ .

Jeżeli $X_1, \ldots, X_n$ są zmiennymi losowymi o rozkładach dyskretnych, a $S_1, \ldots, S_n\subset \mathbb{R}$ są takimi zbiorami przeliczalnymi, że

$P_{X_1}(S_1)=1,\ldots, P_{X_n}(S_n)=1$ , to

zmienne te są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych liczb $x_1\in S_1, \ldots, x_n\in S_n$ zachodzi równość

$P(X_1=x_1, \ldots, X_n=x_n)=P(X_1=x_1)\cdot\ldots\cdot P(X_n=x_n)$ .

Jeżeli, natomiast, zmienne losowe $X_1, \ldots, X_n$ są niezależne, a $(i_1, \ldots, i_k)$ jest ściśle rosnącym ciągiem liczb ze zbioru $\{1,\ldots, n-1\}$ , to σ-ciała

$\sigma(X_1,\ldots, X_{i_1}), \sigma(X_{i_1+1}, \ldots, X_{i_2}),\ldots, \sigma(X_{i_k+1},\ldots, X_n)$

są niezależne.

[edytuj] Niezależność dowolnej rodziny zmiennych losowych

Jeśli $\{X_t\}_{t\in T}$ , gdzie $T$ jest pewnym zbiorem indeksów, jest rodziną zmiennych losowych, to mówimy, że jest ona niezależne gdy dla każdej liczby naturalnej $n$ oraz dla każdych elementów $t_1, \ldots, t_n$ niezależne są zmienne losowe $X_{t_1}, \ldots, X_{t_n}$ .

[edytuj] Wartość oczekiwana iloczynu niezależnych zmiennych losowych

Korzystając z twierdzenia Fubiniego można dowieść, że jeśli $X_1,\ldots, X_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi, to wartość oczekiwana modułu ich iloczynu wyraża się wzorem

$E|X_1\cdot\ldots\cdot X_n|=(E|X_1|)\cdot\ldots\cdot (E|X_1|)$ .

Jeśli ponadto, zmienne te są całkowalne, to

$E(X_1\cdot\ldots\cdot X_n)=EX_1\cdot\ldots\cdot EX_1$ .

Twierdzenie odwrotne nie jest jednak prawdziwe - niech $\Omega=[0,1]$ oraz niech $\mathcal{A}$ będzie σ-ciałem zbiorów borelowskich na tym zbiorze, a $P$ będzie obcięciem miary Lebesgue'a do tego σ-ciała. Rozważmy następujące zmienne losowe

$X(\omega)=\sin(2\pi \omega), Y(\omega)=\cos(2\pi \omega)$ .

Wartość oczekiwana każdej z nich oraz ich iloczynu wynosi 0, natomiast zmienne te nie są niezależne, gdyż w przeciwnym razie byłyby niezależne zmienne

$|X|, \sqrt{1-X^2}$ (jedynka trygonometryczna),

czyli w konsekwencji dla każdego zbioru borelowskiego $B$ byłby spełniony warunek

$P(\{\omega\in [0,1]\colon\, \sin(2\pi\omega)\in B\})\in\{0,1\}$ ,

co oczywiście nie jest prawdą.

[edytuj] Niektóre twierdzenia wykorzystujące założenie niezależności zmiennych

Funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych jest iloczynem funkcji charakterystycznych tych zmiennych.
Funkcja tworząca sumy niezależnych zmiennych losowych (przyjmujących wartości w zbiorze liczb naturalnych z zerem) jest iloczynem funkcji tworzących tych zmiennych losowych.
Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa
- Jeżeli $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, to

$P(\{\omega\in \Omega\colon\,\mbox{ szereg }\sum_{n=1}^\infty X_n(\omega)\mbox{ jest zbiezny}\})\in \{0,1\}$ .

Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych, z których choć jedna ma rozkład ciągły, jest rozkładem ciągłym.
Gęstością sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach ciągłych jest splot gęstości tych zmiennych losowych.
Rozkładem (dystrybuantą) sumy niezależnych zmiennych losowych jest splot rozkładów (dystrybuant) tych zmiennych.
Twierdzenie Kołmogorowa-Prochorowa
- Tożsamość Walda
Nierówność Kołmogorowa
Twierdzenie Kołmogorowa
- Mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa
- Słabe prawo wielkich liczb
Twierdzenie Poissona
Twierdzenie Gliwenki

[edytuj] Popularne błędy

[edytuj] Zależność a rozkłady zmiennych

Znając rozkłady brzegowe każdej ze zmiennych z osobna nic nie da się powiedzieć o ewentualnej zależności lub braku zależności pomiędzy nimi. Na przykład między dwiema zmiennymi $X$ i $Y$ przyjmującymi każdą z wartości {1,2,3,4,5,6} z tym samym prawdopodobieństwem (rozkład jednostajny dyskretny), może istnieć korelacja ujemna, dodatnia, lub mogą być niezależne:

Jeśli zmienna $X$ jest wynikiem rzutu kostką, a $Y=7-X$ , to zmienne $X$ i $Y$ są zależne, współczynnik korelacji wynosi -1
Jeśli zmienna $X$ jest wynikiem rzutu kostką, a $Y=X$ , to zmienne $X$ i $Y$ są zależne, współczynnik korelacji wynosi +1
Jeśli każda z nich modeluje wyniki rzutu inną kostką, to zmienne $X$ i $Y$ są niezależne, współczynnik korelacji wynosi 0.
Jeśli zmienna $X$ jest wynikiem rzutu kostką, a $Y$ jest w części przypadków równe $X$ , a w pozostałych przypadkach równe wynikowi rzutu drugą kostką, to zmienne $X$ i $Y$ są zależne, współczynnik korelacji będzie gdzieś pomiędzy 0 a +1.

W każdym z tych przypadków rozkład brzegowy każdej ze zmiennych $X, Y$ jest identyczny, jednak różni się ich rozkład łączny. W trzech pierwszych przypadkach różni się np. zbiór możliwych wartości pary $(X,Y)$ :

W pierwszym przypadku jest to $\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}\;$
W drugim przypadku $\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}\;$
W trzecim przypadku $\{(1,1),(1,2),\dots,(1,6),(2,1),(2,2),\dots,(2,6),(3,1),\dots,(6,6)\}\;$ . Zmienne są niezależne, bo informacja o wartości jednej z nich nic nie mówi o wartości drugiej.
W czwartym przypadku zbiór możliwych wartości jest taki sam jak w trzecim, jednak różnią się prawdopodobieństwa, z jakimi są one przyjmowane. Znajomość zmiennej $X$ pozwala dokładniej przewidywać znajomość zmiennej $Y$ (formalnie: rozkład warunkowy $Y|X=x$ zmienia się w zależności od $x$ ), więc są zależne.

Zależność jest więc cechą rozkładu łącznego porównywanych zmiennych.

[edytuj] Zależność a współczynnik korelacji

Często błędnie zakłada się, że zależność statystyczna jest równoważna niezerowemu współczynnikowi korelacji. Nie jest to prawda. Na przykład zmienne $X$ i $Y$ mogą być związane zależnością:

$Y=X^2\and -1\leqslant X\leqslant 1$

Jest to przykład ścisłej zależności. Jednak zarówno klasyczna korelacja Pearsona, jak i rangowa dadzą wartość zero (dla próbki - bliską zeru), gdyż zależność ta nie jest monotoniczna, ani tym bardziej liniowa.

[edytuj] Zależność a związek przyczynowo-skutkowy

Częstym błędem jest przyjmowanie, że zmienne silnie nawet skorelowane są związane jakimś związkiem przyczynowo-skutkowym, tym mocniejszym, im korelacja większa. Uświadamia to taki oto przykład: dźwięk dworcowego zegara wybijającego godzinę pierwszą jest niezwykle silnie skorelowany z odjazdem pociągu o 1:00 ze stacji, nie jest on jednak żadną przyczyną ruchu - i odwrotnie, odjazd pociągu nie jest przyczyną dźwięku. W tym wypadku mamy jedynie do czynienia ze współwystępowaniem zjawisk, a nie związkiem przyczynowo-skutkowym. W związku z tym jeśli czynnik A (np. wykształcenie) i czynnik B (np. zarobki) korelują ze sobą, to powinno się tworzyć przynajmniej kilka hipotez na temat ewentualnego związku przyczynowego między nimi:

Czynnik A wpływa na czynnik B. Tu: wykryto związek między zarobkami a wykształceniem, bo wyższe wykształcenie powoduje że dana osoba więcej zarabia.
Czynnik B wpływa na czynnik A. Tu: ludzie zamożniejsi mają lepszy dostęp do wykształcenia i dlatego istnieje związek między zarobkami a wykształceniem.
Jednocześnie A wpływa na B i B na A Tu: z jednej strony ludzie zamożniejsi mają lepszy dostęp do wykształcenia ale z drugiej ludzie lepiej wykształceni mają lepsze zarobki.
Istnieje czynnik C niezidentyfikowany w badaniu, który koreluje z A i z B. Tu: miejsce zamieszkania (lub ambicje) mogą być czynnikiem, który z jednej strony powoduje, że ktoś więcej zarabia, a z drugiej, że ma wyższe wykształcenie.

Korelacja nie dowodzi więc żadnego związku przyczynowo - skutkowego.

Wśród statystyków jako przykład podawana jest anegdota o tym, że wykryto istotną statystycznie dodatnią zależność pomiędzy liczbą bocianów przypadających na km² w danym skupisku ludzkim, a przyrostem naturalnym na tym obszarze. Oczywiście nie dowodzi to, że bociany przynoszą dzieci. Na wsi jest średnio większy przyrost naturalny i czasem żyją tam bociany. W mieście przyrost jest mniejszy i nie ma bocianów. Istnienie trzeciej zmiennej – miasto / wieś, skorelowanej zarówno z liczbą bocianów jak i z przyrostem naturalnym powoduje powstanie zależności także tamtych dwóch zmiennych.

W innej wersji mówi się o korelacji liczby bocianów z liczbą dzieci na tym samym terenie wiejskim w skali wielu lat. Okazuje się, że liczba bocianów jest skorelowana dodatnio z ciepłym latem, a przy dobrej pogodzie wzrastać ma też liczba par kochających się na łonie natury.

Prawdopodobnie nie są to wyniki poważnych badań, lecz tylko legenda, niemniej jest ona dobrą ilustracją, jak może powstawać zależność, nie będąca związkiem przyczynowo-skutkowym^[2].

Podobnie, można by się dopatrzyć silnej dodatniej korelacji między wzrostem liczby ludności w Indiach a liczbą samochodów w Polsce, choć jest to jedynie czysto statystyczna korelacja, współwystępowanie zjawisk, a nie jakikolwiek związek przyczynowo-skutkowy.

Innym przykładem jest korelacja liczby zgonów osób bezdomnych w Indiach a poziomem spożycia lodów w Stanach Zjednoczonych. Tu trzecią zmienną jest średnia temperatura lata na półkuli północnej. Jej zwiększenie powoduje więcej zgonów spowodowanych upałem i oczywiście zwiększenie spożycia lodów.

[edytuj] Obserwacje odstające

Innym częstym błędem jest niesprawdzanie, czy w próbie nie występują obserwacje odstające, które mogą całkowicie przekłamać wartość i znak współczynnika korelacji Pearsona.

Przypisy

↑ Przypomnijmy, że jeśli $\scriptstyle{f\colon \Omega \to \mathbb{R}}$ , to σ-ciałem generowanym przez funkcję $\scriptstyle{f}$ nazywamy najmniejsze w sensie inkluzji σ-ciało podzbiorów zbioru $\scriptstyle{\Omega}$ zawierające rodzinę $\scriptstyle{\{f^{-1}(B)\colon\, B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}}$ .
↑ [1], [2]

[edytuj] Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-02-X.
Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2006. ISBN 83-204-3242-1.
E. L. Lehmann. Some concepts of dependence. „Ann. Math. Statist.”. 37 1137-53, 1966.
T. Kowalczyk, E. Pleszczyńska. Monotonic Dependence Functions of Bivariate Distributions. „The Annals of Statistics”. Vol. 5, No.6, 1221-1227, 1977. http://www.jstor.org/pss/2958654

[edytuj] Zobacz też

Zdarzenia losowe niezależne